Cette ressource est réalisée par Arnaud Savary (ancien étudiant ENS qui a réalisé un stage longue durée au Technocentre Renault dans le service Ingénierie robuste sous la direction de Jacques Demonsant) et Cédric Lusseau (Professeur agrégé de Mécanique). L'exemple de la catapulte est inspiré d'un plan d'expérience effectué chez Renault.

Cette ressource est en partie liée à la ressource sur les plans d’expériences.

1. Introduction

1.1. Problématique

La conception d’un produit se limite souvent dans un premier temps à trouver les caractéristiques en accord avec le cahier des charges. La solution peut ensuite être optimisée. Néanmoins, le niveau de performance du produit pourrait éventuellement varier en fonction de perturbations extérieures (dispersions de fabrication, vieillissement, variations d’environnement), ce qui peut s’avérer pénalisant.

L’objet de la conception robuste est d’optimiser en même temps les performances du produit et de minimiser la sensibilité aux perturbations. Afin de pouvoir intégrer la robustesse au cours de la conception, Génichi Taguchi a proposé une approche permettant de mesurer et prévoir la robustesse d'une solution. C'est cette approche qui est présentée ici.

1.2. Définition

Un produit est dit robuste si sa réponse est peu modifiée par des perturbations (paramètres extérieurs non maîtrisés appelés bruits). Un produit optimisé mais qui ne fonctionne que dans des conditions particulières ne sera pas robuste.

On appelle :

• Réponse : le paramètre qui représente le phénomène étudié. Il est souvent noté Y (un système possède plusieurs réponses mais il plus aisé d’en analyser et optimiser qu’une seule à la fois.)

• Facteur : Un paramètre maîtrisé que l’on fait varier dans le processus expérimental ou numérique. Il est souvent noté X

• Bruit : Un paramètre extérieur variable non maîtrisé. Les causes de bruits sont :

  • Les dispersions de fabrication

  • Le vieillissement

  • Les variations d’environnement

• Paramètre de conception : Un paramètre maîtrisé et fixé dans le processus expérimental ou numérique

• Niveau : la valeur prise pour un facteur ou un paramètre de conception lors d’une expérimentation

Les bruits ne sont pas maîtrisés lors de l’utilisation du produit, mais leurs variations ou leurs conséquences sont partiellement maîtrisées et reproduites dans la cadre du plan-produit. Le choix des paramètres de conception est ce que l’on cherche à déterminer et à optimiser.

1.3. Exemple

Le support utilisé pour la suite est une catapulte. Il s’agit du modèle Statpult de NCMR Company.

Fonctionnement (voir figure) : Pour projeter les balles en plastique (16g ou 18g), il suffit d’armer le bras de la catapulte, qui est en liaison pivot avec le bâti ; on tend alors l’élastique ; on place la balle dans le bol à l’extrémité du bras, puis on règle l’angle d’armement arrière grâce à une portion graduée indiquant les angles sur le corps de l’engin. On lâche, l’élastique se détend et accélère le bras jusqu’à ce que celui-ci heurte la goupille servant de butée. Le projectile quitte alors le bol et suit une trajectoire pseudo-parabolique. Différents paramètres de la catapulte, représentés ci-dessous, sont modifiables à l’aide de positions indexées à l’aide de goupilles.

On souhaite utiliser la catapulte de façon à ce que le projectile atteigne, avec précision, des cibles les plus éloignées possibles. Les critères d’évaluation de la catapulte sont donc les suivants :

• critère de robustesse : on souhaite minimiser la dispersion sur la distance des tirs. Ce critère est considéré comme prépondérant.

• critère de performance : on cherche à maximiser la portée de tir (distance maximale pouvant être atteinte par le projectile)

On représente ci-dessus la caractéristique de fonctionnement de la catapulte. Elle fait apparaître :

• les dispersions de performance dues aux différentes sources de variabilité

• la performance "théorique" dans les conditions spécifiées par le cahier des charges (en trait continu)

2. Différentes approches de conception

Il est possible de définir 4 approches de conception qui donneront des solutions avec des caractéristiques différentes (dispersion et performances). Ces 4 approches sont :

• Solution nominale : On recherche une solution qui respecte le cahier des charges (ce processus peut mettre en œuvre une modification par tâtonnements d’un faible nombre de paramètres de conception). On ne cherche pas a priori à maximiser un critère. Cette étape peut éventuellement être suivie par une étude de sensibilité.

• Etude de sensibilité : On étudie l’impact du bruit sur la performance pour une solution donnée.

• Solution optimisée (optimisant la performance) : On cherche, parmi plusieurs solutions, celle permettant de maximiser les critères de performance (dans notre cas, la portée de tir) : on boucle phases de conception (en faisant varier les paramètres de conception) et phases d’évaluation des performances (en évaluant les critères de performance).

• Solution robuste (optimisant robustesse et performance) : On cherche, parmi plusieurs solutions, celle qui soit à la fois optimisée en performance et en robustesse. Pour cela, on est amené à boucler phases de conception et d’évaluation des performances et de la robustesse. On est alors amené à effectuer un compromis entre robustesse et performance.

Exemple de la catapulte

La figure montre les caractéristiques de fonctionnement obtenues pour différentes conceptions de la catapulte. La solution robuste est celle qui permet d’avoir une distance de tir maximum tout en gardant une variabilité faible.

Exemples de causes de bruit possibles :

• dispersions de fabrication

  • dispersion des dimensions géométriques

  • dispersion des caractéristiques matériaux de l’élastique

• variabilité d’usage (conditions d’utilisation, diversité de l’environnement technique) :

  • masse du projectile

  • orientation et force du vent

  • manipulation de l’utilisateur (erreurs de réglage, façon de déclencher le tir)

  • hauteur de la catapulte par rapport à la cible

  • support utilisé pour déplacer/fixer la catapulte (cales, chariot sur roulettes, lestage)

• vieillissement

  • vieillissement de l’élastique

• variabilité des choix en cours de projet

  • remplacement des goupilles en aluminium par des goupilles en plastique

2.1. Mesurer et prévoirl a robustesse par la méthode Taguchi

Pour un système, Génichi Taguchi a proposé un critère de robustesse appelé ratio signal / bruit. Ce ratio peut s’appliquer :

• aux mesures d’un plan d’expériences

• aux résultats d’une simulation.

3. Ratio signal / bruit

Le bruit (perturbation) induit des variations de la réponse du système. Ainsi, plusieurs essais réalisés avec les mêmes facteurs (conditions d’entrée) donneront des résultats différents à cause du bruit. Il est possible de caractériser la population de résultats obtenus par une moyenne et un écart type

Toute la difficulté est de réduire la variabilité en maintenant la valeur de la moyenne désirée. Une première façon de procéder est d’optimiser la moyenne et l’écart type séparément. Cette démarche donne souvent de mauvais résultats car la condition qui minimise la variabilité peut aussi être la condition qui cause un écart important par rapport à la moyenne attendue.

Exemple : il est facile de réduire à zéro le bruit (grésillement,…) d’une radio FM, en baissant le volume complètement! Le signal est ramené à zéro en même temps.

Une deuxième approche, plus satisfaisante, consiste à améliorer la moyenne et la variabilité en même temps. Nous avons besoin pour cela d’un indice qui prend en compte la moyenne et l’écart type. Genichi Taguchi a proposé dans ses travaux un indice appelé « ratio signal / bruit » qui répond à ce problème. Cet indice est construit de façon à ce que, plus grande est sa valeur, meilleure est la Qualité.

Exemple de ratio signal /bruit : le ratio signal sur bruit a une expression différente selon l’objectif du critère à optimiser (la démonstration des différentes expressions du ratio est donnée ici). Si l’objectif est d’obtenir une valeur nominale, l’expression du ratio avec l’hypothèse où le couple {moyenne, écart type} varient proportionnellement sera :

Ainsi, plus le ratio est petit, plus la réponse est dépendante du bruit. Il faut donc maximiser le rapport signal/bruit pour maximiser la robustesse.

Exemple : si l’on mesure la portée de tir dans différentes conditions de bruits pour une même conception de la catapulte, on pourra prendre pour moyenne , la valeur moyenne de cette série de mesures, et pour σ, son écart-type.

4. Mesurer la robustesse

La mesure de la robustesse selon Taguchi se fait en calculant le ratio signal sur bruit à partir des résultats d’un plan d’expériences.

Les expériences sont répétées pour plusieurs niveaux de facteurs de bruit (pratiquement toujours 2…). Ces plans d’expériences sont appelés plans produits.

Exemple catapulte :

Un plan, d’expériences a été réalisé. 3 niveaux différents ont été utilisés pour chaque facteur. Par exemple pour l’angle relatif d’armement ( θrel ), les 3 niveaux sont notés :

• θrel_1 : l’angle relatif est de 15°

• θrel_3 : l’angle relatif est de 30°

• θrel_3 : l’angle relatif est de 45°

Pour chaque combinaison des facteurs, les essais ont étés répétés pour différentes conditions de bruit (ce type de plan d’expérience s’appelle plan produit, son principe ainsi que l’exemple sont donnée en annexe) . Il est ainsi possible de calculer une moyenne des réponses, un écart type et donc un ratio signal sur bruit.

Exemple de la catapulte:

Les essais sont menés avec une stratégie de plan d’expériences. Les résultats complets sont donnés en annexes.

Pour la première expérience, le réglage des paramètres de conception est le suivant :

• Niveau force ressort :1

• Niveau angle relatif : 15

• Niveau butée projectile : 4

• Niveau bol : 4

Les essais seront répétés pour toutes les combinaisons de bruit. Nous avons 2 sortes de bruits à 2 niveaux :

• Bruit (niveaux N- et N+)

• Opérateur (opérateur 1 et 2)

l y a donc 4 combinaisons de bruit possible. Il faudra donc répéter l’expérience 1 pour les 4 combinaisons de bruit possible.

Un outil pour choisir la combinaison d’entrée optimale est le graphe des effets (des facteurs) sur le ratio signal / bruit. Pour chaque niveau de paramètres de conception, on calcule la moyenne des ratios signal / bruit des expériences correspondant à ce niveau de facteur. Par exemple, pour le facteur force :

• la moyenne du ratio pour force_1 est -11.8

• la moyenne du ratio pour force_2 est -15.6

• la moyenne du ratio pour force_3 est -17.7

La combinaison de facteurs qui donne le ratio le plus grand est {force_1, θrel_3, θbutée_1, bol_1}. C’est cette combinaison qui est la plus "robuste".

Remarque: Dans son analyse Taguchi utilise également le graphe des effets sur la réponse qui permet de voir la combinaison qui maximise la performance. L'analyse avec les deux graphes est donnée en complément ici.

5. Prévoir la robustesse de la méthode Taguchi

La prédiction de la robustesse passe par la prédiction de la réponse du système. Ainsi, Taguchi a proposé une loi reliant la réponse du système aux niveaux des facteurs ( x₁ à x₅ par exemple) :

où j correspond à une expérience donnée.

Le comportement du système est représenté par cette loi polynomiale.

Cette loi implicite dans la méthode Taguchi permet d’une part de prévoir un niveau de performance de la réponse considérée, et d’autre part un niveau de robustesse à partir du rapport signal bruit. Cette loi n’est fonction que des facteurs, au sens paramètres de conception.

Il suffit de simuler la réponse pour plusieurs niveaux de bruit (pratiquement toujours 2…) et ensuite d’appliquer le critère de robustesse retenu par Taguchi, le ratio signal sur bruit :

(dans l'hypothèse où le couple {moyenne, écart type} varie proportionnellement).

Le domaine de validité associé à cette théorie est :

• cette relation approchée suppose que les effets et interactions agissent linéairement et qu’ils sont additifs

• cette représentation ne permet donc pas de rendre compte d’une variation non linéaire des facteurs entre les niveaux testés

• les ordres supérieurs à 2 sont généralement négligés car la qualité est souvent suffisante avec un ordre 2 (rappel : on appel ordre le degré du polynôme)

Le produit et l’environnement sont modélisés à partir des résultats d’essais/ou de simulation d’un plan d’expériences. Le résultat des essais permet de calculer les effets sur la réponse de chacun des facteurs sélectionnés intrinsèques au produit. Le domaine de validité associé à ces modèles est:

• nombre d’essais limités

• nombre de modalité limité (seulement deux ou trois valeurs du facteur sont testées)

• on choisit de se limiter à l’étude de certains facteurs

• bruit représenté par un facteur synthétique. Les bruits n’apparaissent pas de manière détaillée.

La figure ci-dessous résume l’exemple

6. Conclusion

La conception d’un produit ne peut pas s’arrêter à la conception au nominal. Si tel est le cas, toutes les sources de variabilité induiront un temps de mise au point élevé et de nombreux essais et prototypes coûteux. Ainsi, il est avantageux d’introduire les sources de variabilité dès la conception pour avoir au final une solution robuste.

Génichi Taguchi a proposé une méthode qui permet d’évaluer la robustesse et donc par la suite de l’optimiser.

Cette approche de la conception rejoint la problématique de la logique de validation : comment s’assurer et garantir la performance finale du produit dans les conditions réelles d’emploi. Pour cela, on peut se baser sur l’expertise des ingénieurs, les revues de plans, les essais physiques, les validations numériques. La conception robuste rejoint cette dernière approche, et va dans le sens de la suppression progressive du maximum d’essais physiques.